Induksi Matematika

A.Pembuktian Peryataan  Matematika Perupa Barisan Ketidak samaan dan keterbagian 

Induksi matematika adalah sebuah metode pembuktian deduktif yang dipakai membuktikan pernyataan matematika yang berkaitan dengan bilangan yang terurut rapi .

Ada tiga langkah dalam induksi matematika yang diperlukan untuk membuktikan suatu rumus atau pernyataan. Langkah-langkah tersebut adalah :

1. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1.

2. Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k.

https://mamikos.com/info/contoh-soal-induksi-matematika-pljr/

2. https://www.studiobelajar.com/induksi-matematika/

Soal 1

Buktikanlah jika 32n + 22n + 2 benar-benar habis dibagi 5. 

Agar bisa membuktikannya, maka sebaiknya Anda menerapkan beberapa tahapan diantaranya:

Langkah Pertama 

32(1) + 22(1)+2 = 32 + 24 = 9 + 16 = 25, jadi benar-benar habis dibagi 5. Hal ini terbukti.

Langkah Kedua Menggunakan 2 (n = k)

32k + 22k + 2

Langkah Ketiga ( = k + 1)

= 32(k+1) + 22(2k+2) 

= 32k+2 + 22k+2+2

= 32(32k) + 22(22k+2)

= 10(32k) + 5(22k+2) – 32k – 22k+2

= 10 (32k) + 5 (22k+2) – (32k + 22k+2)

Diperoleh:

10 (32k) sudah habis dibagi 5, 5(22k+2) sudah habis dibagi 5 dan –(32k) + 22k+2 juga habis dibagi 5. 

Semua bilangan bulat tidak negatif n, buktikan dengan memakai induksi matematika bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1.

Cari tahu basis induksi terlebih dahulu yaitu 20 = 20+1 – 1. Jadi, sangat jelas bahwa 20 = 1

Jika p(n) benar, yakni 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 adalah benar, maka tunjukkan bahwa p(n+1) juga benar: 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 juga benar, maka tunjukkan bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = (20 + 21 + 22 + … + 2n) + 2n+1 = (2n+1 – 1) + 2n+1 (hipotesis induksi). 

= (2n+1 + 2n+1) – 1

= (2.2n+1) – 1

= 2n+2 – 1 

= 2(n+1)+1 – 1 

Maka dapat dibuktikan bahwa semua bilangan bulat tidak negatif n, terbukti bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1. 

3. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.

Untuk menerapkan induksi matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P (k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk meyatakan persamaan P (k + 1), substitusikan kuantitas k + 1 kedalam pernyataan P(k).

Jenis Induksi Matematika

Deret Bilangan

Sebagai ilustrasi dibuktikan secara induksi matematika bahwa .

• Langkah 1

untuk n = 1, maka :

1 = 1

Bentuk untuk n = 1 rumus tersebut benar.

• Langkah 2

Misal rumus benar untuk n = k, maka:

• Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1. Sehingga:

1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = ½ (k + 1)((k + 1) + 1)

Pembuktiannya:

1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = ½ k(k + 1) + (k + 1) (dalam langkah 2, kedua ruas ditambah k + 1)

= ½ k (k + 1) +½ [2(k + 1)] . (k + 1) dimodifikasi menyerupai ½ k (k + 1))

= ½[k(k + 1) + 2(k + 1)] (penyederhanaan)

= ½ (k^2 + k + 2k + 2)

= ½ (k^2 + 3k + 2)

1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = ½ (k + 1)(k + 2) (terbukti)